Senos, cosenos y derivadas parciales

Concept · Cap. XV y XVI — How to deal with Sines and Cosines / Partial Differentiation

Trigonométricas (Cap. XV)

Greek letters being usual to denote angles, we will take as the usual letter for any variable angle the letter θ (“theta”).

y = sin θ     ⟹    dy/dθ = cos θ
y = cos θ     ⟹    dy/dθ = −sin θ
y = tan θ     ⟹    dy/dθ = sec² θ

El seno y el coseno se derivan el uno en el otro, con un cambio de signo cada dos pasos. Derivando cuatro veces se vuelve al punto de partida:

sin θ  →  cos θ  →  −sin θ  →  −cos θ  →  sin θ

Ese ciclo de período 4 es la razón matemática de que senos y cosenos describan todo lo que oscila: péndulos, corriente alterna, ondas. Thompson —ingeniero eléctrico— no elige estas funciones por completitud del temario.

⚠️ Advertencia operativa: estas derivadas sólo valen si θ está en radianes. En grados aparecen factores de conversión espurios.

Derivadas parciales (Cap. XVI)

We sometimes come across quantities that are functions of more than one independent variable. Thus, we may find a case where y depends on two other variable quantities, one of which we will call u and the other v.

y = f(u, v)

La técnica es congelar todo menos una variable:

Símbolo	Significado
∂y/∂u	derivar respecto de u, tratando v como constante
∂y/∂v	derivar respecto de v, tratando u como constante

La ∂ (“d redonda”) sólo señala que hay otras variables mirando desde afuera, congeladas. Nada más.

Ejemplo. El área de un rectángulo A = b·h depende de base y altura:

∂A/∂b = h        (si sólo estiro la base, el área crece a razón de h)
∂A/∂h = b        (si sólo estiro la altura, crece a razón de b)

Y el cambio total, si ambas varían un poquito:

dA = (∂A/∂b)·db + (∂A/∂h)·dh  =  h·db + b·dh

Que es —otra vez— el rectángulo que crece de los infinitesimales, con el término db·dh descartado por ser de segundo orden. El libro cierra el círculo con la misma figura con la que lo abrió.

Ejemplos resueltos

1. Trigonométricas con cadena y producto

(a) $y = \sin(3x)$. Cadena, con $u = 3x$:

$$\frac{dy}{dx} = \cos(3x)\cdot 3 = \boxed{3\cos(3x)}$$

(b) $y = x\sin x$. Producto:

$$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \sin x + x\cos x = \boxed{\sin x + x\cos x}$$

(c) $y = \sin^2 x$, o sea $(\sin x)^2$. Cadena, con $u = \sin x$:

$$\frac{dy}{dx} = 2\sin x \cdot \cos x = \boxed{\sin(2x)}$$

(usando la identidad $2\sin x\cos x = \sin 2x$)

2. Por qué la derivada de tan es lo que es

Problema. Derivar $y = \tan\theta$ sin memorizar el resultado.

Escribilo como cociente y aplicá la regla:

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$ $$\frac{dy}{d\theta} = \frac{\cos\theta \cdot \cos\theta - \sin\theta\cdot(-\sin\theta)}{\cos^2\theta} = \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta}$$

Y como $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$:

$$\boxed{\frac{dy}{d\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} = \sec^2\theta}$$

No hacía falta memorizarla. Sale de la regla del cociente más una identidad que ya sabías desde el colegio. Eso es lo que Thompson quiere que hagas: derivar, no recordar.

3. El oscilador: dos derivadas y vuelve con signo cambiado

Problema. Verificar que $y = \sin(nx)$ cumple $\dfrac{d^2y}{dx^2} = -n^2 y$.

$$\frac{dy}{dx} = n\cos(nx) \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{d^2y}{dx^2} = -n^2\sin(nx) = -n^2\,y \quad ✓$$

Ésa es la propiedad que hace del seno la función de todo lo que oscila. Ver ecuaciones diferenciales.

4. Derivadas parciales: el rectángulo que crece

Problema. El área de un rectángulo es $A = b\,h$. Si la base mide 5 y la altura 3, y ambas crecen 0.01, ¿cuánto crece el área?

Las parciales (congelá una variable por vez):

$$\frac{\partial A}{\partial b} = h = 3, \qquad \frac{\partial A}{\partial h} = b = 5$$

El cambio total:

$$dA = \frac{\partial A}{\partial b}db + \frac{\partial A}{\partial h}dh = 3(0.01) + 5(0.01) = \boxed{0.08}$$

Verificación exacta: $A_{\text{nuevo}} = 5.01 \times 3.01 = 15.0801$, y $A_{\text{viejo}} = 15$. La diferencia real es $0.0801$.

La aproximación erró por $0.0001$ — que es exactamente $db\cdot dh = (0.01)^2$: el cuadradito de la esquina, el término de segundo orden que descartamos. Ver infinitesimales.

El libro cierra el círculo con la misma figura con la que lo abrió, y acá lo podés medir con números.

Citations

[1] Thompson, S. P. Calculus Made Easy, 2nd ed., Macmillan, 1914 — Caps. XV-XVI, pp. 162-179.