Máximos y mínimos

Concept · Cap. XI — Maxima and Minima

Por qué importa

One of the principal uses of the process of differentiating is to find out under what conditions the value of the thing differentiated becomes a maximum, or a minimum. This is often exceedingly important in engineering questions, where it is most desirable to know what conditions will make the cost of working a minimum, or will make the efficiency a maximum.

Thompson era ingeniero. Este capítulo es el que justifica todo el aparato anterior: optimización.

El caso concreto

y = x² − 4x + 7. Tabulando valores de x se ve que la curva tiene un mínimo. Derivando:

dy/dx = 2x − 4

En la cima o el valle, la curva es plana — la tangente es horizontal — así que la pendiente vale cero (ver significado geométrico):

2x − 4 = 0    ⟹    x = 2    ⟹    y = 3

Mínimo en (2, 3).

El procedimiento general

1. Derivar y plantear dy/dx = 0. Resolver → puntos candidatos.
2. Calcular la segunda derivada d²y/dx² y evaluarla en cada candidato.

d²y/dx² en el punto	Curvatura	Es un…
positiva	cóncava hacia arriba	mínimo
negativa	cóncava hacia abajo	máximo
cero	indeterminado	investigar más (posible inflexión)

En el ejemplo: d²y/dx² = 2 > 0 → mínimo. Confirmado.

Ejemplos resueltos

1. El caso de Thompson, completo

Problema. Encontrar el mínimo de $y = x^2 - 4x + 7$.

Paso 1. Derivar e igualar a cero:

$$\frac{dy}{dx} = 2x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2$$

Paso 2. Segunda derivada para saber qué tipo de punto es:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = 2 > 0 \quad\Longrightarrow\quad \text{cóncava hacia arriba} = \textbf{mínimo}$$

Paso 3. El valor: $y(2) = 4 - 8 + 7 = 3$.

$$\boxed{\text{Mínimo en } (2,\ 3)}$$

2. La caja de volumen máximo (el clásico de ingeniería)

Problema. De una lámina cuadrada de 12 cm de lado, cortás un cuadradito de lado $x$ en cada esquina y doblás para formar una caja abierta. ¿Qué $x$ maximiza el volumen?

Planteo. Al cortar $x$ en cada esquina, la base queda de $(12 - 2x)$ por lado, y la altura es $x$:

$$V(x) = x(12 - 2x)^2$$

Expandí para derivar cómodo:

$$V = x(144 - 48x + 4x^2) = 144x - 48x^2 + 4x^3$$

Derivá e igualá a cero:

$$\frac{dV}{dx} = 144 - 96x + 12x^2 = 0$$

Dividí por 12:

$$x^2 - 8x + 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)(x-6) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2 \ \text{ó}\ x = 6$$

Dos candidatos. ¿Cuál sirve? Acá es donde la segunda derivada gana el sueldo:

$$\frac{d^2V}{dx^2} = -96 + 24x$$

$x$	$V''$	Tipo
$2$	$-96 + 48 = -48 < 0$	máximo ✓
$6$	$-96 + 144 = 48 > 0$	mínimo ✗

Además $x=6$ es físicamente absurdo: la base mediría $12 - 12 = 0$. La caja no existiría.

$$\boxed{x = 2\ \text{cm}, \qquad V_{\max} = 2 \cdot 8^2 = 128\ \text{cm}^3}$$

La lección. $\frac{dV}{dx}=0$ te dio dos respuestas, y una era basura. Sin la segunda derivada no tenías cómo elegir. Y el chequeo físico (“¿tiene sentido?”) es gratis y te salva de entregar $x=6$ con cara seria.

3. El corral (optimización con restricción)

Problema. Tenés 100 m de alambre para cercar un corral rectangular contra un muro (el muro es un lado, no lleva alambre). ¿Qué dimensiones dan área máxima?

Planteo. Si $x$ son los dos lados perpendiculares al muro e $y$ el lado paralelo:

$$2x + y = 100 \quad\Longrightarrow\quad y = 100 - 2x$$ $$A(x) = x \cdot y = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$$

Optimizá:

$$\frac{dA}{dx} = 100 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 25$$ $$\frac{d^2A}{dx^2} = -4 < 0 \quad\Longrightarrow\quad \textbf{máximo} \ ✓$$ $$\boxed{x = 25\ \text{m}, \quad y = 50\ \text{m}, \quad A_{\max} = 1250\ \text{m}^2}$$

El paso que la gente saltea es el primero: usar la restricción para dejar el área en función de una sola variable. Sin eso no podés derivar. La restricción no es un estorbo — es lo que hace el problema resoluble.

El insight que se suele perder

La condición dy/dx = 0 no distingue máximo de mínimo — ambos son puntos planos. Hace falta la segunda derivada para saber de qué lado se cae. Es precisamente por eso que el Cap. VII (derivación sucesiva) tenía que venir antes: era la herramienta que este capítulo necesitaba.

Citations

[1] Thompson, S. P. Calculus Made Easy, 2nd ed., Macmillan, 1914 — Cap. XI, pp. 91-108.