Derivación sucesiva y curvatura

Concept · Cap. VII y XII — Successive Differentiation / Curvature of Curves

Derivar de nuevo (Cap. VII)

Nada impide derivar el resultado de una derivada. La notación:

dy/dx        primera derivada
d²y/dx²      segunda
d³y/dx³      tercera   …

Ejemplo: y = x⁵ → dy/dx = 5x⁴ → d²y/dx² = 20x³ → d³y/dx³ = 60x² …

¿Para qué? (Cap. XII)

Thompson se hace la pregunta explícitamente:

Returning to the process of successive differentiation, it may be asked: Why does anybody want to differentiate twice over?

Y da las dos respuestas:

Física. Con espacio y tiempo, derivar dos veces da la aceleración.
Geometría. dy/dx es la pendiente; d²y/dx² es la tasa a la que la pendiente cambia — es decir, la curvatura.

La lectura de la curvatura

Signo de `d²y/dx²`	Forma	Nombre
positivo	la pendiente crece → la curva se abre hacia arriba	cóncava hacia arriba
negativo	la pendiente decrece → la curva se abre hacia abajo	cóncava hacia abajo
cero	la pendiente no cambia	punto de inflexión (candidato)

De acá sale directo el criterio para distinguir máximos de mínimos — ver máximos y mínimos.

Ejemplos resueltos

1. Derivar hasta que se muera

Problema. Derivar $y = x^5$ repetidamente.

\frac{dy}{dx} = 5x^4 \quad\to\quad \frac{d^2y}{dx^2} = 20x^3 \quad\to\quad \frac{d^3y}{dx^3} = 60x^2

\frac{d^4y}{dx^4} = 120x \quad\to\quad \frac{d^5y}{dx^5} = 120 \quad\to\quad \frac{d^6y}{dx^6} = \boxed{0}

Un polinomio de grado $n$ se muere en la derivada $n+1$ . El grado baja de a uno por derivada, hasta que no queda nada. Es una buena forma de comprobar que no te equivocaste: si $x^5$ te sigue dando algo después de seis derivadas, hiciste algo mal.

2. Concavidad e inflexión

Problema. Analizar la forma de $y = x^3 - 3x$ .

\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3, \qquad \frac{d^2y}{dx^2} = 6x

Puntos críticos ( $y' = 0$ ): $3(x^2-1)=0 \Rightarrow x = \pm 1$ .

$x$	$y''=6x$	Concavidad	Es un…
$-1$	$-6 < 0$	hacia abajo	máximo local, $y = 2$
$+1$	$+6 > 0$	hacia arriba	mínimo local, $y = -2$

Punto de inflexión ( $y'' = 0$ ): $6x = 0 \Rightarrow x = 0$ , donde $y = 0$ .

Ahí la curva cambia de concavidad: venía abriéndose hacia abajo y pasa a abrirse hacia arriba. No es ni máximo ni mínimo — la pendiente ahí vale $-3$ , no cero. Es el punto donde la curva “endereza el volante”.

Ojo con el recíproco: $y''=0$ no garantiza inflexión. En $y = x^4$ , la segunda derivada $12x^2$ también se anula en $x=0$ , pero ahí hay un mínimo, no una inflexión. Hace falta que $y''$ cambie de signo, no sólo que toque el cero.

Conceptos relacionados

Significado geométrico — la derivada primera como pendiente
Cuando el tiempo varía

Citations

[1] Thompson, S. P. Calculus Made Easy, 2nd ed., Macmillan, 1914 — Caps. VII y XII, pp. 48-51 y 109-117.