Reglas de derivación — potencias, constantes, sumas y productos

Concept · Cap. IV-VI — Simplest Cases / What to do with Constants / Sums, Differences, Products and Quotients

Derivación desde primeros principios (Cap. IV)

Now let us see how, on first principles, we can differentiate some simple algebraical expression.

Caso 1: y = x². Si x crece, x² crece, y entonces y crece. La tarea es encontrar la razón entre dy y dx.

y  + dy = (x + dx)²
        = x² + 2x·dx + (dx)²

Restando y = x²:

dy = 2x·dx + (dx)²

El término (dx)² es un infinitesimal de segundo orden — se descarta (ver infinitesimales). Queda:

dy/dx = 2x

Sin límites, sin épsilon. El mismo procedimiento repetido sobre x³, x⁴… revela el patrón.

La regla de la potencia

y = xⁿ    ⟹    dy/dx = n·xⁿ⁻¹

Thompson la establece por inducción sobre los casos concretos, y luego muestra que vale también para n negativo y fraccionario (√x = x^(1/2), 1/x = x⁻¹).

Constantes (Cap. V)

Forma	Derivada	Intuición
`y = a·xⁿ`	`dy/dx = a·n·xⁿ⁻¹`	una constante multiplicativa sobrevive intacta
`y = xⁿ + c`	`dy/dx = n·xⁿ⁻¹`	una constante aditiva desaparece

La constante aditiva desaparece porque no crece: subir toda la curva no le cambia la pendiente. Esta desaparición es exactamente por qué la integración necesita reintroducir una + C — ver integración.

Sumas, productos, cocientes (Cap. VI)

Suma:      d(u + v)/dx  =  du/dx + dv/dx

Producto:  d(u·v)/dx    =  u·(dv/dx) + v·(du/dx)

Cociente:  d(u/v)/dx    =  [ v·(du/dx) − u·(dv/dx) ] / v²

La regla del producto sale del mismo argumento geométrico del rectángulo que crece: (u+du)(v+dv) = uv + u·dv + v·du + du·dv, y du·dv es de segundo orden — se descarta.

El cociente es feo, y Thompson lo admite: por eso el Cap. XIII introduce fracciones parciales, para partir una fracción complicada en fracciones simples antes de derivar.

Ejemplos resueltos

1. Derivar desde primeros principios

Problema. Derivar $y = x^2$ sin usar ninguna regla.

Hacé crecer $x$ un pedacito $dx$ . Entonces $y$ crece un pedacito $dy$ :

y + dy = (x + dx)^2 = x^2 + 2x\,dx + (dx)^2

Restá $y = x^2$ de ambos lados:

dy = 2x\,dx + (dx)^2

Dividí por $dx$ :

\frac{dy}{dx} = 2x + dx

Ahora hacé $dx$ indefinidamente pequeño. El término $dx$ que sobra se desvanece:

\boxed{\frac{dy}{dx} = 2x}

Lo que hay que entender, y no es un detalle: el $(dx)^2$ se descartó porque es de segundo orden, pero el $2x\,dx$ no. Si descartaras los dos, te daría $0$ . Si no descartaras ninguno, nunca llegarías a una respuesta limpia. Todo el cálculo vive en esa distinción — ver infinitesimales.

2. Polinomio (regla de la potencia + constantes)

Problema. Derivar $y = 5x^3 - 2x + 7$ .

Término por término:

Término	Regla	Derivada
$5x^3$	$\frac{d}{dx}(a x^n) = a\,n\,x^{n-1}$	$15x^2$
$-2x$	$n = 1$ , así que queda la constante	$-2$
$+7$	constante aditiva: no crece	$0$

\boxed{\frac{dy}{dx} = 15x^2 - 2}

El $7$ desaparece. Y no es una regla arbitraria: subir la curva 7 unidades no le cambia la pendiente. Ver significado geométrico.

3. Exponentes negativos y fraccionarios

La regla $\frac{d}{dx}x^n = n\,x^{n-1}$ vale para cualquier $n$ , no sólo enteros positivos. El truco es reescribir primero:

(a) $y = \sqrt{x}$ . Reescribí como $y = x^{1/2}$ :

\frac{dy}{dx} = \tfrac{1}{2}x^{-1/2} = \boxed{\frac{1}{2\sqrt{x}}}

(b) $y = \dfrac{1}{x}$ . Reescribí como $y = x^{-1}$ :

\frac{dy}{dx} = -1 \cdot x^{-2} = \boxed{-\frac{1}{x^2}}

Fijate que la derivada es siempre negativa: $1/x$ siempre baja. Coherente con la geometría.

4. Regla del producto

Problema. Derivar $y = x^2 \sin x$ .

Con $u = x^2$ y $v = \sin x$ :

\frac{d(uv)}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} = x^2 \cos x + \sin x \cdot 2x

\boxed{\frac{dy}{dx} = x^2\cos x + 2x\sin x}

Error clásico: escribir $\frac{d(uv)}{dx} = \frac{du}{dx}\cdot\frac{dv}{dx}$ . Sería $2x\cos x$ — mal. La derivada de un producto no es el producto de las derivadas. El porqué está en el rectángulo que crece: hay dos rectángulos nuevos ( $u\,dv$ y $v\,du$ ), no uno.

5. Regla del cociente

Problema. Derivar $y = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$ .

Con $u = x^2+1$ ( $u' = 2x$ ) y $v = x-1$ ( $v' = 1$ ):

\frac{dy}{dx} = \frac{v\,u' - u\,v'}{v^2} = \frac{(x-1)(2x) - (x^2+1)(1)}{(x-1)^2}

= \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x-1)^2} = \boxed{\frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}}

Feo, ¿no? Thompson coincide. Por eso el Cap. XIII enseña fracciones parciales: partir la fracción antes de derivar. Ver técnicas.

Conceptos relacionados

Infinitesimales — la licencia para descartar (dx)²
Coeficiente diferencial
El useful dodge — qué hacer cuando estas reglas no alcanzan
Derivación sucesiva

Citations

[1] Thompson, S. P. Calculus Made Easy, 2nd ed., Macmillan, 1914 — Caps. IV-VI, pp. 17-47.