Significado geométrico — la derivada es la pendiente

Concept · Cap. X — Geometrical Meaning of Differentiation

La traducción

It is useful to consider what geometrical meaning can be given to the differential coefficient.

Cualquier función de x —x², √x, ax + b— se puede graficar como una curva. Thompson se apoya en que “every schoolboy is familiar with the process of curve-plotting”: el estudiante ya sabe dibujar la curva, sólo hay que decirle qué está mirando.

El resultado

dy/dx  =  la pendiente de la tangente a la curva en ese punto

Tomá dos puntos vecinos de la curva separados por dx en horizontal y dy en vertical. La cuerda entre ellos tiene pendiente dy/dx. A medida que dx se hace indefinidamente pequeño, la cuerda se vuelve la tangente.

        │        ╱ tangente
        │      ╱ ·Q
      y │    ╱ ·│ dy
        │  ╱· P─┘
        │╱    dx
        └────────────── x

Casos que fijan la intuición

Curva	`dy/dx`	Lectura geométrica
`y = ax + b`	`a`	recta: pendiente constante `a`; la `b` no afecta (subir la recta no la inclina)
`y = x²`	`2x`	parábola: pendiente 0 en el origen, crece con `x`
`y = c` (constante)	`0`	horizontal: sin pendiente

Que la constante aditiva desaparezca al derivar deja de ser una regla arbitraria y pasa a ser evidente: trasladar una curva hacia arriba no le cambia la inclinación.

Ejemplos resueltos

1. Ecuación de la tangente

Problema. Hallar la recta tangente a $y = x^2$ en el punto $x = 3$ .

Paso 1. El punto. $y(3) = 9$ , así que es $(3, 9)$ .

Paso 2. La pendiente — para eso está la derivada:

\frac{dy}{dx} = 2x \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=3} = 6

Paso 3. La recta, con la forma punto-pendiente $y - y_0 = m(x - x_0)$ :

y - 9 = 6(x - 3) \quad\Longrightarrow\quad \boxed{y = 6x - 9}

Chequeo: en $x=3$ da $18-9=9$ ✓ (pasa por el punto).

2. ¿Dónde la curva tiene pendiente dada?

Problema. ¿En qué punto de $y = x^2 - 4x$ la tangente es horizontal?

Horizontal significa pendiente cero:

\frac{dy}{dx} = 2x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2, \quad y = 4 - 8 = -4

\boxed{(2,\ -4)}

Ése es exactamente el planteo de máximos y mínimos — mismo cálculo, otra pregunta. La geometría y la optimización son la misma cosa vista de dos lados.

3. Cuando la derivada NO existe

Problema. ¿Cuál es la pendiente de $y = |x|$ en $x = 0$ ?

Viniendo por la izquierda, la pendiente es $-1$ .
Viniendo por la derecha, la pendiente es $+1$ .

No coinciden. En el vértice hay una esquina, no una tangente única: no podés apoyar una sola recta. La derivada no existe en $x=0$ .

Que la derivada mida la pendiente tiene una consecuencia que se suele omitir: donde no hay una pendiente bien definida, no hay derivada. Curvas suaves sí; picos, saltos y esquinas, no.

Lo que habilita

Si dy/dx es la pendiente, entonces pendiente cero = curva plana = cima o valle. Ése es el puente directo a máximos y mínimos, que es el capítulo siguiente y la aplicación más útil del libro.

Conceptos relacionados

Coeficiente diferencial
Curvatura
Áreas por integración — el dual geométrico, del lado integral

Citations

[1] Thompson, S. P. Calculus Made Easy, 2nd ed., Macmillan, 1914 — Cap. X, pp. 75-90.