Dodges, pitfalls y triumphs — técnicas de integración

Concept · Cap. XIII y XX — Other Useful Dodges / Dodges, Pitfalls, and Triumphs

La confesión

Dodges. A great part of the labour of integrating things consists in licking them into some shape that can be integrated. The books — and by this is meant the serious books — on the Integral Calculus are full of plans and methods and dodges and artifices for this kind of work.

Thompson admite lo que los textos serios esconden: integrar no es un algoritmo. Derivar sí lo es —seguís las reglas y llegás—; integrar es reconocimiento de patrones y oficio.

Integración por partes

∫ u dx  =  u·x  −  ∫ x du  +  C

En su forma más usada:

∫ u dv  =  u·v  −  ∫ v du

Es la regla del producto leída al revés. Sirve cuando el integrando es un producto donde una parte se simplifica al derivarla (polinomios) y la otra sobrevive al integrarla (eˣ, sin x).

Sustitución

El mismo useful dodge del lado diferencial, aplicado al revés: cambiás de variable para que el integrando colapse a una forma de la tabla.

Fracciones parciales (Cap. XIII)

We have seen that when we differentiate a fraction we have to perform a rather complicated operation; and, if the fraction is not itself a simple one, the result is bound to be a complicated expression. If we could split the fraction into two or more simpler fractions such that their sum is equivalent to the original fraction, we could then proceed…

Partir una fracción fea en una suma de fracciones simples, y atacar cada una por separado:

    1                 A         B
─────────────  =  ───────  +  ───────
(x−1)(x−2)         x−1         x−2

Cada término resultante integra a un logaritmo. Sirve tanto para derivar como para integrar.

Integrales múltiples

∬ f(x, y) dx dy

Se integra respecto de una variable, después respecto de la otra. El orden no importa. Thompson lo demuestra con x² + y².

Ejemplos resueltos

1. Sustitución

Problema. $\displaystyle\int 2x(x^2+1)^3\,dx$.

Buscá una parte cuya derivada también aparezca en el integrando. Acá $u = x^2+1$ tiene $du = 2x\,dx$ — y ese $2x\,dx$ está ahí, servido:

$$\int 2x(x^2+1)^3\,dx = \int u^3\,du = \frac{u^4}{4} + C = \boxed{\frac{(x^2+1)^4}{4} + C}$$

Verificación (cadena): $\frac{d}{dx}\frac{(x^2+1)^4}{4} = \frac{4(x^2+1)^3 \cdot 2x}{4} = 2x(x^2+1)^3$ ✓

La sustitución es la regla de la cadena leída al revés. Si el $2x$ no estuviera, este truco no funcionaría — y ahí empieza el arte.

2. Por partes

Problema. $\displaystyle\int x e^x\,dx$.

Fórmula: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

La decisión clave es quién es $u$. Elegí $u$ = lo que se simplifica al derivarlo:

$$u = x \ \ (du = dx), \qquad dv = e^x dx \ \ (v = e^x)$$ $$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = \boxed{e^x(x-1) + C}$$

Verificación: $\frac{d}{dx}\left[e^x(x-1)\right] = e^x(x-1) + e^x = e^x \cdot x$ ✓

Y si elegís al revés ($u = e^x$, $dv = x\,dx$):

$$\int x e^x dx = \frac{x^2}{2}e^x - \int \frac{x^2}{2}e^x\,dx$$

La integral nueva es peor que la original ($x^2$ en vez de $x$). No está mal — está empeorando. Volvé y elegí de nuevo. Ésa es la señal de que $u$ estaba mal elegido.

3. Fracciones parciales

Problema. $\displaystyle\int \frac{1}{(x-1)(x-2)}\,dx$.

Directo no hay forma. Partí la fracción:

$$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$$

Multiplicá todo por $(x-1)(x-2)$:

$$1 = A(x-2) + B(x-1)$$

El truco: evaluá en las raíces para matar un término por vez.

• En $x=2$: $\ 1 = A(0) + B(1) \Rightarrow B = 1$
• En $x=1$: $\ 1 = A(-1) + B(0) \Rightarrow A = -1$

Ahora son dos logaritmos triviales:

$$\int \frac{-1}{x-1}dx + \int \frac{1}{x-2}dx = -\ln|x-1| + \ln|x-2| + C$$ $$\boxed{= \ln\left|\frac{x-2}{x-1}\right| + C}$$

4. Pitfall: la que NO se puede

Problema. $\displaystyle\int e^{-x^2}\,dx$.

Probá sustitución: $u = x^2$, $du = 2x\,dx$ — pero no hay ningún $x$ afuera para formar el $du$. Probá por partes: empeora. Probá lo que quieras: no sale.

Y no sale porque no existe. Esta integral no tiene primitiva en términos de funciones elementales. No te falta el truco: el truco no existe. (Es la campana de Gauss; se define una función nueva, $\operatorname{erf}$, justamente para nombrarla.)

Saber cuándo parar es parte del oficio. Los textos serios no te lo dicen, y te dejan tres horas peleando contra algo que ningún matemático puede resolver tampoco.

Pitfalls

La advertencia que hace este capítulo valioso: hay expresiones que simplemente no se pueden integrar en términos de funciones elementales. No es que no sepas el truco — es que el truco no existe. Reconocer esos casos es parte del oficio, y no admitirlo es una de las crueldades de los textos convencionales.

La lección de fondo (Cap. XXI)

The beginner, who now knows how easy most of those processes are in themselves, will here begin to realize that integration is an art. As in all arts, so in this, facility can be acquired only by diligent and regular practice.

Ésa es la única vez en todo el libro que Thompson dice “esto requiere práctica” — y lo dice recién cuando ya te convenció de que sos capaz. El orden importa. Primero la confianza, después el esfuerzo. Al revés no funciona.

Citations

[1] Thompson, S. P. Calculus Made Easy, 2nd ed., Macmillan, 1914 — Caps. XIII y XX-XXI, pp. 118-130 y 224-248.