Crecimiento relativo y el coeficiente diferencial

Concept · Cap. III — On Relative Growings

La idea central

All through the calculus we are dealing with quantities that are growing, and with rates of growth.

Thompson clasifica todo en dos clases:

Clase	Notación habitual	Qué es
Constantes	letras del principio del alfabeto: a, b, c	valor fijo
Variables	letras del final: x, y, z, u, v, w, t	capaces de crecer (“variar”)

El cálculo siempre trata de cómo una variable depende de otra. Los ejemplos que da son físicos, no abstractos:

• la altura que alcanza un proyectil según el tiempo transcurrido,
• un rectángulo de área dada: cuánto se achica el ancho si se alarga el largo,
• la altura que alcanza una escalera según su inclinación.

El coeficiente diferencial

Si y depende de x, y x crece un pedacito dx, entonces y crece un pedacito dy. La pregunta del cálculo diferencial es una sola:

¿Cuál es la proporción entre el crecimiento de y y el crecimiento de x?

Esa proporción, dy/dx, es el coeficiente diferencial (hoy: la derivada).

dy/dx  =  cuánto crece y   ÷   cuánto crece x

Thompson lo formula así en el Cap. IV: “our task is to find out the ratio between dy and dx”. No hay misticismo: es un cociente entre dos pedacitos.

Por qué importa la formulación

Presentar dy/dx como razón de crecimientos —y no como un límite formal o un operador— es lo que permite que las derivaciones desde primeros principios del resto del libro se lean como aritmética y no como magia.

El precio es rigor: esta lectura de dy/dx como cociente literal no sobrevive al análisis moderno. El beneficio es que el estudiante entiende qué está midiendo antes de aprender a defenderlo formalmente. Ese trade-off es deliberado — ver pedagogía.

Ejemplos resueltos

1. Ver la derivada aparecer, numéricamente

Problema. Para $y = x^2$ en $x = 3$: calculá $\frac{dy}{dx}$ achicando $dx$ y mirá a dónde tiende.

$$\frac{dy}{dx} \approx \frac{(3+dx)^2 - 3^2}{dx}$$

$dx$	$(3+dx)^2$	$dy$	$dy/dx$
$1$	$16$	$7$	$7$
$0.1$	$9.61$	$0.61$	$6.1$
$0.01$	$9.0601$	$0.0601$	$6.01$
$0.001$	$9.006001$	$0.006001$	$6.001$
$\to 0$			$\to \mathbf{6}$

Y la regla dice: $\frac{dy}{dx} = 2x = 2(3) = 6$ ✓

Fijate el patrón: la respuesta es siempre $6 + dx$. Ese $dx$ colgando es exactamente el término de segundo orden que sobrevivió a la división — el mismo de infinitesimales. Cuando $dx$ se desvanece, queda $6$ limpio.

La derivada no es una aproximación. Es a dónde tiende la aproximación.

2. Dos variables ligadas por una restricción

Problema (de Thompson). Un rectángulo tiene área fija $A = 12$. Si alargás la base, ¿cuánto se achica la altura?

De $b\,h = 12$ sale $h = \dfrac{12}{b}$. Derivá:

$$\frac{dh}{db} = -\frac{12}{b^2}$$

$b$	$h$	$dh/db$	Lectura
$2$	$6$	$-3$	alargar 1 la base achica 3 la altura
$4$	$3$	$-0.75$	alargar 1 la base achica 0.75
$6$	$2$	$-0.33$	apenas la mueve

La tasa de intercambio no es constante. Cuando el rectángulo es angosto y alto, estirarlo un poquito lo aplasta muchísimo. Cuando ya es chato, casi no cambia nada.

Y el signo negativo no es un detalle: dice que una crece cuando la otra decrece. La derivada trae la dirección incorporada.

3. La notación no miente: es una razón

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\text{cuánto crece } y}{\text{cuánto crece } x}$$

Por eso las unidades funcionan como uno espera:

$y$	$x$	$dy/dx$ mide
metros	segundos	m/s → velocidad
m/s	segundos	m/s² → aceleración
pesos	unidades	$/unidad → costo marginal
altura	distancia horizontal	adimensional → pendiente

Si tu resultado tiene las unidades equivocadas, tenés un error algebraico. Las unidades son un test gratis y casi nadie lo usa.

Conceptos relacionados

• Notación
• Regla de la potencia — el primer cálculo real de dy/dx
• Significado geométrico — dy/dx es la pendiente
• Cuando el tiempo varía — dy/dx es la velocidad

Citations

[1] Thompson, S. P. Calculus Made Easy, 2nd ed., Macmillan, 1914 — Cap. III, pp. 9-16.