Infinitesimales y grados de pequeñez

Concept · Cap. II — On Different Degrees of Smallness

El problema

Todo el cálculo depende de saber cuándo una cantidad es tan pequeña que se puede tirar a la basura. Thompson no lo resuelve con límites ni con épsilon-delta: lo resuelve con intuición calibrada.

We shall have also to learn under what circumstances we may consider small quantities to be so minute that we may omit them from consideration. Everything depends upon relative minuteness.

La analogía del tiempo

Hay 60 minutos en una hora, 1440 en un día, 10080 en una semana. Un minuto es pequeño frente a una semana. Y el argumento etimológico, que es el golpe maestro:

• Nuestros antepasados llamaron “one minùte” a una fracción minúscula de la hora — una sesentava parte.
• Cuando necesitaron algo más chico, dividieron el minuto en 60 y lo llamaron “second minùte”: una cantidad pequeña de segundo orden.
• Hoy les decimos “segundos” — y casi nadie sabe por qué se llaman así.

La jerarquía de infinitesimales ya estaba incrustada en el reloj. Thompson sólo la señala.

La analogía monetaria hace lo mismo: un farthing es despreciable frente a un soberano (~1/1000). Pero frente a £1000, el farthing es tan irrelevante como lo sería 1/1000 de farthing frente a un soberano. La pequeñez es relativa, y se compone.

El argumento geométrico

Un cuadrado de lado x crece un pedacito dx en cada dirección:

        x        dx
   ┌─────────┬────┐
   │         │    │
 x │   x²    │x·dx│
   │         │    │
   ├─────────┼────┤
dx │  x·dx   │(dx)²│   ← esta esquinita es de segundo orden
   └─────────┴────┘

El cuadrado agrandado = x² + dos rectángulos x·dx + la esquinita (dx)².

Si dx es 1/100 de x (el grosor de una línea de tinta), la esquinita tiene área 1/10.000 — despreciable frente a los rectángulos. Se descarta.

Lo que queda: crecimiento de x² ≈ 2x·dx. Y ahí, sin anunciarlo, ya derivó x².

La regla operativa

Los términos en (dx)², (dx)³, … son infinitesimales de orden superior y se descartan frente a los términos en dx. Esto es lo que hace que la derivación funcione desde primeros principios en el Capítulo IV.

Ejemplos resueltos

1. El cuadrado que crece, con números

Problema. Un cuadrado de lado $x = 10$ crece a $10.01$. ¿Cuánto crece su área, y cuánto importa cada término?

$$(x + dx)^2 = x^2 + \underbrace{2x\,dx}_{\text{1er orden}} + \underbrace{(dx)^2}_{\text{2do orden}}$$

Con $x = 10$ y $dx = 0.01$:

Término	Valor	Porcentaje del crecimiento
$2x\,dx = 2(10)(0.01)$	$0.2$	$99.95\%$
$(dx)^2 = (0.01)^2$	$0.0001$	$0.05\%$
Crecimiento total	$\mathbf{0.2001}$	$100\%$

Ahora achicá $dx$ diez veces, a $0.001$:

Término	Valor	Porcentaje
$2x\,dx$	$0.02$	$99.995\%$
$(dx)^2$	$0.000001$	$0.005\%$

El punto: al dividir $dx$ por 10, el término de primer orden se dividió por 10, pero el de segundo orden se dividió por 100. El segundo orden se vuelve irrelevante más rápido de lo que se achica $dx$.

Por eso lo podés descartar. No porque sea “chico”, sino porque es chico comparado con el otro, y cada vez más.

2. La trampa de descartar mal

Problema. ¿Por qué no se puede descartar también el $2x\,dx$?

Porque entonces $dy = 0$, y $\frac{dy}{dx} = 0$: toda función tendría derivada cero. El cálculo no existiría.

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2x\,dx + (dx)^2}{dx} = 2x + dx$$

Fijate qué pasa al dividir por $dx$:

• el término $2x\,dx$ sobrevive como $2x$ — finito, no desaparece;
• el término $(dx)^2$ sobrevive como $dx$ — que sí se desvanece.

La división por $dx$ es la que separa a los sobrevivientes de los muertos. Descartás después de dividir, no antes. Ése es el mecanismo entero, y es la mitad de lo que hay que entender del cálculo diferencial.

3. La jerarquía, en el reloj

Si $\frac{1}{60}$ de una hora es “pequeño de primer orden” (un minuto), entonces:

$$\frac{1}{60}\ \text{de}\ \frac{1}{60} = \frac{1}{3600}\ \text{de hora} = \text{un segundo}$$

Un segundo es pequeño de segundo orden respecto de la hora — y eso es literalmente de dónde viene el nombre: “second minùte”, un minuto de segundo orden.

Comparar un segundo con una hora es como comparar $(dx)^2$ con $x$. Nadie factura por segundos cuando cobra por hora: los descarta. Estabas haciendo cálculo sin saberlo.

Conceptos relacionados

• Notación d y ∫
• Regla de la potencia — la aplicación directa

Citations

[1] Thompson, S. P. Calculus Made Easy, 2nd ed., Macmillan, 1914 — Cap. II, pp. 3-8.