Interés compuesto y la ley del crecimiento orgánico — de dónde sale `e`

Concept · Cap. XIV — On True Compound Interest and the Law of Organic Growth

El planteo

Let there be a quantity growing in such a way that the increment of its growth, during a given time, shall always be proportional to its own magnitude. This resembles the process of reckoning interest on money at some fixed rate; for the bigger the capital, the bigger the amount of interest on it in a given time.

En símbolos, la ecuación diferencial del crecimiento orgánico:

dy/dt = k·y        el ritmo de crecimiento es proporcional al tamaño actual

Interés simple vs. compuesto

Capital inicial £100, tasa 10% anual.

Modo	Qué pasa	Después de 1 año
Simple	el capital queda fijo; el interés se retira	£110
Compuesto (n veces al año)	el interés se suma al capital y también genera interés	más que £110

Componiendo n veces por año, el factor de crecimiento anual es:

(1 + 1/n)^n

n (veces que se compone)	(1 + 1/n)^n
1 (anual)	2.000
2 (semestral)	2.250
12 (mensual)	2.613
365 (diario)	2.714
→ ∞ (continuo)	2.71828… = e

El punto

e es lo que el interés compuesto se vuelve cuando se compone continuamente. No es una constante arbitraria que hay que memorizar: es el límite natural de un proceso que ya entendés.

De ahí salen las derivadas que Thompson necesita para el resto del libro:

y = eˣ        ⟹    dy/dx = eˣ        (la única función que es su propia derivada)
y = ln x      ⟹    dy/dx = 1/x
y = aˣ        ⟹    dy/dx = aˣ · ln a

Ejemplos resueltos

1. Derivadas con exponenciales y logaritmos

(a) $y = e^{3x}$. Cadena, con $u = 3x$:

$$\frac{dy}{dx} = e^{u}\cdot 3 = \boxed{3e^{3x}}$$

(b) $y = \ln(x^2 + 1)$. Cadena, con $u = x^2+1$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u}\cdot 2x = \boxed{\frac{2x}{x^2+1}}$$

(c) $y = x^2 e^x$. Producto:

$$\frac{dy}{dx} = 2x e^x + x^2 e^x = \boxed{e^x(x^2 + 2x)}$$

2. El interés compuesto, con números

Problema. \1000$ al 100% anual. ¿Cuánto tenés después de un año, según cada cuánto se capitalice?

Capitalización	$n$	$1000\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
Anual	1	\2000.00$
Semestral	2	\2250.00$
Mensual	12	\2613.04$
Diaria	365	\2714.57$
Por hora	8760	\2718.13$
Continua	$\to\infty$	\mathbf{\2718.28} = 1000,e$

$$\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e = 2.71828\ldots$$

Ahí está $e$. No es una constante que alguien inventó: es el techo al que tiende el interés compuesto cuando lo capitalizás infinitamente seguido. Fijate que converge rápido — capitalizar por hora ya te da casi lo mismo que hacerlo continuamente. Duplicar la frecuencia no te duplica la plata; hay un límite, y ese límite es $e$.

3. Decaimiento radiactivo (vida media)

Problema. Una muestra decae según $\frac{dN}{dt} = -kN$. Si su vida media es 8 días, ¿cuánto queda a los 24 días?

Paso 1. La solución de esa ecuación es $N(t) = N_0 e^{-kt}$ (ver ecuaciones diferenciales).

Paso 2. Vida media: a los 8 días queda la mitad.

$$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-8k} \ \Longrightarrow\ \tfrac12 = e^{-8k} \ \Longrightarrow\ \ln\tfrac12 = -8k \ \Longrightarrow\ k = \frac{\ln 2}{8} \approx 0.0866\ \text{día}^{-1}$$

Paso 3. A los 24 días:

$$N(24) = N_0 e^{-0.0866 \cdot 24} = N_0 e^{-2.079} \approx 0.125\,N_0$$ $$\boxed{\text{Queda el } 12.5\% = \tfrac18}$$

Chequeo mental: 24 días son tres vidas medias. $\frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12 = \frac18$. ✓ El cálculo confirma lo que la intuición ya sabía — y esa coincidencia es justamente la señal de que planteaste bien.

”Ley del crecimiento orgánico”

El título no es decorativo. La misma ecuación dy/dt = k·y gobierna:

• capital a interés compuesto,
• poblaciones que crecen sin restricción,
• desintegración radiactiva (k negativo),
• descarga de un capacitor, enfriamiento de un cuerpo.

Un solo modelo matemático, muchos fenómenos. Ése es el argumento de fondo del capítulo — y de por qué vale la pena aprender esto.

Conceptos relacionados

• Ecuaciones diferenciales — resolver dy/dt = k·y formalmente
• Reglas de derivación

Citations

[1] Thompson, S. P. Calculus Made Easy, 2nd ed., Macmillan, 1914 — Cap. XIV, pp. 131-161.