Cuando el tiempo varía — velocidad y aceleración

Concept · Cap. VIII — When Time Varies

El caso más importante

Some of the most important problems of the calculus are those where time is the independent variable, and we have to think about the values of some other quantity that varies when the time varies.

Thompson ancla el concepto en cosas que crecen: la distancia que recorre un tren, la altura de un árbol. Y plantea la pregunta que fuerza la idea de tasa:

Which is growing at the greater rate; a plant 12 inches high which in one month becomes 14 inches high, or a tree 12 feet high which in a year grows to 14 feet?

La respuesta obliga a distinguir crecimiento absoluto de crecimiento por unidad de tiempo — que es todo el punto.

Las derivadas respecto del tiempo

Si s es la distancia y t el tiempo:

Cantidad	Símbolo	Significado
Posición	s	dónde está
Velocidad	v = ds/dt	qué tan rápido cambia la posición
Aceleración	a = dv/dt = d²s/dt²	qué tan rápido cambia la velocidad

La aceleración es la derivada segunda de la posición. Ésta es la respuesta de Thompson a la pregunta “¿para qué querría alguien derivar dos veces?”, que él mismo se plantea al abrir el Cap. XII.

Ejemplos resueltos

1. Del movimiento a la velocidad y la aceleración

Problema. Una partícula se mueve según $s = t^3 - 6t^2 + 9t$ (metros, segundos). Hallar cuándo se detiene y qué hace ahí.

Velocidad (primera derivada):

$$v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 12t + 9$$

Se detiene cuando $v = 0$:

$$3(t^2 - 4t + 3) = 0 \Longrightarrow 3(t-1)(t-3) = 0 \Longrightarrow \boxed{t = 1\ \text{s y}\ t = 3\ \text{s}}$$

Aceleración (segunda derivada):

$$a = \frac{dv}{dt} = 6t - 12$$

$t$	$v$	$a$	Qué pasa
1 s	0	$-6$	se detiene y empieza a retroceder
3 s	0	$+6$	se detiene y vuelve hacia adelante

Velocidad cero no significa quieta para siempre — significa que está dando vuelta. El signo de la aceleración te dice hacia dónde. Es el mismo criterio de la segunda derivada que distingue máximos de mínimos, aplicado al movimiento.

2. La pregunta de Thompson: ¿quién crece más rápido?

“Which is growing at the greater rate; a plant 12 inches high which in one month becomes 14 inches high, or a tree 12 feet high which in a year grows to 14 feet?”

Respuesta absoluta: los dos crecen 2 unidades. Empate.

Respuesta por tasa — que es la que importa:

$$\text{planta} = \frac{2\ \text{in}}{1\ \text{mes}} = 2\ \text{in/mes}, \qquad \text{árbol} = \frac{2\ \text{ft}}{12\ \text{meses}} = \frac{24\ \text{in}}{12\ \text{meses}} = 2\ \text{in/mes}$$

Empatan también en tasa. Pero la pregunta capciosa es la tasa relativa:

$$\text{planta} = \frac{2}{12} = 16.7\%\ \text{por mes}, \qquad \text{árbol} = \frac{2}{12} = 16.7\%\ \text{por año}$$

La planta crece 12 veces más rápido en términos relativos. “¿Cuánto creció?” es una pregunta mal formulada hasta que decís respecto de qué y por unidad de qué. Eso es lo que la derivada te obliga a precisar.

3. Tasas relacionadas

Problema. Un globo esférico se infla a $100\ \text{cm}^3/\text{s}$. ¿A qué velocidad crece el radio cuando $r = 10$ cm?

Lo que sabés: $\frac{dV}{dt} = 100$. Lo que querés: $\frac{dr}{dt}$.

El puente es la fórmula del volumen, derivada respecto del tiempo (cadena):

$$V = \tfrac{4}{3}\pi r^3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt}$$

Despejá y evaluá en $r = 10$:

$$\frac{dr}{dt} = \frac{dV/dt}{4\pi r^2} = \frac{100}{4\pi(100)} = \boxed{\frac{1}{4\pi} \approx 0.0796\ \text{cm/s}}$$

Lo que enseña: aunque metas aire a ritmo constante, el radio crece cada vez más lento (porque $r^2$ crece en el denominador). Un globo grande casi no se nota que se infla. La derivada te lo dice antes de que lo veas.

Por qué este capítulo va acá

Está colocado inmediatamente antes del dodge de la regla de la cadena y del significado geométrico: primero el estudiante ve que la derivada ya mide algo real que le importa (velocidad), y recién después aprende la maquinaria para calcularla en casos difíciles.

Motivación antes que técnica. Otra vez el mismo patrón.

Citations

[1] Thompson, S. P. Calculus Made Easy, 2nd ed., Macmillan, 1914 — Cap. VIII, pp. 52-65.