Integración — sumar los pedacitos

Concept · Cap. XVII y XVIII — Integration / Integrating as the Reverse of Differentiating

El secreto ya estaba revelado (Cap. XVII)

The great secret has already been revealed that this mysterious symbol ∫, which is after all only a long S, merely means “the sum of,” or “the sum of all such quantities as.” It therefore resembles that other symbol Σ (the Greek Sigma), which is also a sign of summation.

Thompson lo dice en la primera línea del capítulo: no hay nada nuevo que aprender sobre el símbolo. Ya lo definió en el Cap. I y no cambió de opinión. Ver notación.

Σ suma cantidades finitas. ∫ suma cantidades indefinidamente pequeñas — una infinidad de ellas.

Integrar es derivar al revés (Cap. XVIII)

El resultado central del lado integral:

Si   dy/dx = f(x)     entonces     y = ∫ f(x) dx

Derivar parte en pedacitos; integrar los suma de vuelta. Son operaciones inversas. En la práctica, integrar es leer la tabla de derivadas de derecha a izquierda:

Derivada conocida	Integral que implica
`d(xⁿ)/dx = n·xⁿ⁻¹`	`∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C` (n ≠ −1)
`d(eˣ)/dx = eˣ`	`∫ eˣ dx = eˣ + C`
`d(ln x)/dx = 1/x`	`∫ (1/x) dx = ln x + C` (el caso n = −1)
`d(sin θ)/dθ = cos θ`	`∫ cos θ dθ = sin θ + C`
`d(cos θ)/dθ = −sin θ`	`∫ sin θ dθ = −cos θ + C`

Thompson insiste en que el estudiante arme su propia tabla, y sólo con las funciones que ya derivó e integró con éxito:

You should make such a table for yourself, putting in it only the general functions which you have successfully differentiated and integrated. See to it that it grows steadily!

(El libro trae la suya completa en las pp. 249-251.)

La constante de integración `+ C`

Ésta es la parte que casi todo el mundo memoriza sin entender. Al derivar, toda constante aditiva desaparece — porque una constante no crece, y trasladar una curva hacia arriba no le cambia la pendiente (ver significado geométrico).

Entonces, al ir para atrás, esa información está perdida:

d(x² + 1)/dx  = 2x
d(x² + 7)/dx  = 2x        ← todas dan lo mismo
d(x² − 99)/dx = 2x

∫ 2x dx = x² + C          ← no podés saber cuál era. C absorbe la ignorancia.

C no es un detalle burocrático: es el registro honesto de información que la derivación destruyó. Para fijarla hace falta un dato extra (una condición inicial).

Integral definida

Cuando se suman los pedacitos entre dos límites, la constante se cancela y el resultado es un número concreto:

∫ₐᵇ f(x) dx  =  F(b) − F(a)

Y ese número tiene un significado geométrico — ver áreas por integración.

Ejemplos resueltos

1. Integrales inmediatas (leer la tabla al revés)

(a) $\displaystyle\int x^3\,dx$ . Buscás algo que derivado dé $x^3$ . Subí el exponente y dividí por el nuevo exponente:

\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C

Verificación (siempre verificá derivando): $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^4}{4}\right) = \frac{4x^3}{4} = x^3$ ✓

(b) $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx$ . Término por término:

= \frac{3x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 5x + C = \boxed{x^3 - 2x^2 + 5x + C}

(c) El caso que rompe la regla: $n = -1$ .

\int x^{-1}\,dx \ne \frac{x^0}{0} \quad \text{(¡división por cero!)}

La regla $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ se cae en $n=-1$ . La respuesta viene de otro lado — de que $\frac{d}{dx}\ln x = \frac 1x$ :

\boxed{\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C}

Ese $n=-1$ es un agujero real en la regla, no un tecnicismo. Y es la razón de que el logaritmo aparezca por todos lados en integración.

2. Integral definida

Problema. Calcular $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$ .

Paso 1. Encontrá la primitiva: $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$ .

Paso 2. Evaluá entre los límites:

\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - \frac{0}{3} = \boxed{\frac{8}{3}}

La constante $C$ se cancela sola — por eso en las definidas no se escribe:

\left(\frac{8}{3} + C\right) - \left(0 + C\right) = \frac{8}{3}

3. Por qué existe la + C (el ejemplo que lo deja claro)

Problema. ¿Cuál es la primitiva de $2x$ ?

Derivá estas tres funciones:

\frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x, \qquad \frac{d}{dx}(x^2 + 7) = 2x, \qquad \frac{d}{dx}(x^2 - 99) = 2x

Las tres dan lo mismo. Entonces, si te dan $2x$ y te piden volver, no hay forma de saber cuál era. Esa información la destruyó la derivación:

\int 2x\,dx = x^2 + C

$C$ no es burocracia: es el registro honesto de lo que no podés saber. Para fijarla necesitás un dato extra.

Con condición inicial. Si además te dicen que la curva pasa por $(0, 5)$ :

5 = 0^2 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 5 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{y = x^2 + 5}

Ahora sí es una función, no una familia.

Conceptos relacionados

Citations

[1] Thompson, S. P. Calculus Made Easy, 2nd ed., Macmillan, 1914 — Caps. XVII-XVIII, pp. 180-203; Table of Standard Forms, pp. 249-251.