Áreas por integración

Concept · Cap. XIX — On Finding Areas by Integrating

El uso que justifica la integral

One use of the integral calculus is to enable us to ascertain the values of areas bounded by curves.

Let us try to get at the subject bit by bit.

Ese “bit by bit” es literal, no una figura retórica: el área se construye con pedacitos.

La construcción

Para hallar el área bajo una curva y = f(x) entre x = a y x = b:

Cortá la región en tiras verticales finitas, cada una de ancho dx.
Cada tira es (aproximadamente) un rectángulo de altura y y ancho dx → área y · dx.
Sumá todas las tiras: eso es, literalmente, ∫ y dx.

   y │     ╭──────
     │   ╭─╯ │ │ │
     │ ╭─╯   │ │ │   cada tira: área = y · dx
     │╭╯ │ │ │ │ │
     └┴──┴─┴─┴─┴─┴──── x
      a           b
        ancho dx

Área  =  ∫ₐᵇ y · dx  =  F(b) − F(a)

El error de aproximar cada tira por un rectángulo es de segundo orden (el triangulito que sobra arriba), y se desvanece cuando dx se hace indefinidamente pequeño — el mismo argumento de los infinitesimales que sostiene todo el libro.

Ejemplos resueltos

1. Área bajo una parábola

Problema. Área bajo $y = x^2$ entre $x=0$ y $x=3$ .

A = \int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} - 0 = \boxed{9}

Chequeo de sanidad (hacelo siempre): la región está dentro del rectángulo de base 3 y altura $y(3)=9$ , o sea área 27. Y es claramente más que un triángulo de área $\frac{3\cdot 9}{2} = 13.5$ … mmm, $9 < 13.5$ . Correcto: la parábola es cóncava hacia arriba, así que va por debajo de la recta que une $(0,0)$ con $(3,9)$ . El área tiene que ser menor que la del triángulo. ✓

Ese chequeo de 10 segundos te salva de entregar un absurdo.

2. Área entre dos curvas

Problema. Área encerrada entre $y = x$ e $y = x^2$ .

Paso 1. ¿Dónde se cruzan?

x = x^2 \Longrightarrow x(1-x) = 0 \Longrightarrow x = 0,\ x = 1

Paso 2. ¿Cuál va arriba? Probá un punto del medio, $x = 0.5$ : $y_{\text{recta}} = 0.5$ , $y_{\text{parábola}} = 0.25$ . La recta va arriba.

Paso 3. Integrá la diferencia (arriba menos abajo):

A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \boxed{\frac{1}{6}}

Error clásico: integrar sin verificar quién va arriba. Si invertís el orden te da $-\frac16$ : un área negativa, que no existe. El signo te está gritando que te equivocaste de orden.

3. Cuando la curva va por debajo del eje

Problema. $\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$ .

= \Big[-\cos x\Big]_0^{2\pi} = -\cos(2\pi) + \cos(0) = -1 + 1 = \boxed{0}

¿Área cero? No. La integral dio cero porque de $0$ a $\pi$ el seno es positivo (área $+2$ ) y de $\pi$ a $2\pi$ es negativo (área $-2$ ). Se cancelan.

La integral definida da área con signo. Si querés el área geométrica real, partí en los cruces con el eje y sumá los valores absolutos:

A_{\text{real}} = \left|\int_0^{\pi}\sin x\,dx\right| + \left|\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx\right| = 2 + 2 = 4

Confundir estas dos cosas es de los errores más caros del cálculo integral.

La simetría completa del cálculo

Operación	Qué hace	Lectura geométrica
Derivar	parte en pedacitos y mira la razón	pendiente de la tangente
Integrar	suma los pedacitos	área bajo la curva

Que la pendiente y el área sean operaciones inversas no es obvio a priori — es el contenido del teorema fundamental del cálculo, que Thompson presenta sin nombrarlo así, simplemente mostrando que integrar es derivar al revés.

Citations

[1] Thompson, S. P. Calculus Made Easy, 2nd ed., Macmillan, 1914 — Cap. XIX, pp. 204-223.