El "useful dodge" — la regla de la cadena

Concept · Cap. IX — Introducing a Useful Dodge

El problema

Sometimes one is stumped by finding that the expression to be differentiated is too complicated to tackle directly.

Su ejemplo: y = (x² + a²)^(3/2) — “awkward to a beginner”.

El dodge

Now the dodge to turn the difficulty is this: Write some symbol, such as u, for the expression x² + a².

Sea  u = x² + a²

Entonces  y = u^(3/2),  que sí sabés manejar:

    dy/du = (3/2)·u^(1/2)
    du/dx = 2x

    dy/dx = (dy/du) · (du/dx) = (3/2)·u^(1/2) · 2x = 3x·√(x² + a²)

La regla, en general

dy/dx  =  (dy/du) · (du/dx)

Los du “se cancelan” — y esa cancelación aparente es exactamente lo que hace que el truco se sienta natural cuando ya aceptaste dy/dx como una razón entre pedacitos. El formalismo moderno prohíbe esa lectura; Thompson la explota sin culpa.

Por qué lo llama “dodge” y no “teorema”

Deliberado. Un teorema es algo que te imponen; un dodge es algo que aprendés a usar. La palabra baja la barrera psicológica — mismo movimiento que hacer de d “un pedacito de”. Ver pedagogía.

El Cap. XX (“Dodges, Pitfalls, and Triumphs”) aplica la misma etiqueta al lado integral: ver técnicas de integración.

Ejemplos resueltos

1. El ejemplo del propio Thompson

Problema. Derivar $y = (x^2 + a^2)^{3/2}$.

Directo es un infierno. Con el dodge:

$$u = x^2 + a^2 \quad\Longrightarrow\quad y = u^{3/2}$$

Ahora son dos derivadas triviales:

$$\frac{dy}{du} = \tfrac{3}{2}u^{1/2}, \qquad \frac{du}{dx} = 2x$$

Multiplicá:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} = \tfrac{3}{2}u^{1/2}\cdot 2x = 3x\,u^{1/2}$$

Y volvé a $x$:

$$\boxed{\frac{dy}{dx} = 3x\sqrt{x^2 + a^2}}$$

2. Potencia de un polinomio

Problema. Derivar $y = (3x^2 + 5)^7$.

Nadie en su sano juicio expande eso. Con $u = 3x^2 + 5$:

$$\frac{dy}{du} = 7u^6, \qquad \frac{du}{dx} = 6x$$ $$\frac{dy}{dx} = 7u^6 \cdot 6x = \boxed{42x(3x^2+5)^6}$$

Error clásico: contestar $7(3x^2+5)^6$ y listo. Te olvidaste de $\frac{du}{dx}$ — el “factor de adentro”. La cadena tiene dos eslabones; si soltás uno, la respuesta está mal por un factor de $6x$.

3. Función dentro de función dentro de función

Problema. Derivar $y = \sin(5x^2)$.

La cadena se extiende a tantos eslabones como haga falta. Con $u = 5x^2$:

$$\frac{dy}{du} = \cos u, \qquad \frac{du}{dx} = 10x$$ $$\boxed{\frac{dy}{dx} = 10x\cos(5x^2)}$$

4. Cadena de tres eslabones

Problema. Derivar $y = \left(\sin(x^2)\right)^3$.

Tres capas: cubo ∘ seno ∘ cuadrado. Andá de afuera hacia adentro:

$$\frac{dy}{dx} = \underbrace{3\left(\sin(x^2)\right)^2}_{\text{deriv. del cubo}} \cdot \underbrace{\cos(x^2)}_{\text{deriv. del seno}} \cdot \underbrace{2x}_{\text{deriv. del cuadrado}}$$ $$\boxed{\frac{dy}{dx} = 6x\sin^2(x^2)\cos(x^2)}$$

La receta: derivá la capa de afuera dejando el interior intacto, multiplicá por la derivada de lo que hay adentro, y repetí hasta llegar a $x$.

Conceptos relacionados

• Reglas de derivación — lo que el dodge extiende
• Técnicas de integración — el dodge del otro lado

Citations

[1] Thompson, S. P. Calculus Made Easy, 2nd ed., Macmillan, 1914 — Cap. IX, pp. 66-74.