Ecuaciones diferenciales — encontrar soluciones

Concept · Cap. XXI — Finding Some Solutions

El capítulo final

In this chapter we go to work finding solutions to some important differential equations, using for this purpose the processes shown in the preceding chapters.

Es el pago de todo lo anterior. Una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas; resolverla es encontrar la función.

Las ecuaciones que ataca

Crecimiento / decaimiento orgánico:

dy/dx = a·y        ⟹      y = A·e^(a·x)

La ley del crecimiento orgánico. Con a positivo: interés compuesto, poblaciones. Con a negativo: decaimiento radiactivo, enfriamiento, descarga de un capacitor.

Oscilación armónica:

d²y/dx² = −n²·y    ⟹      y = A·sin(n·x + B)

La derivada segunda proporcional al negativo de la función. Thompson conecta esto explícitamente con el Cap. XV: buscaba una función que, derivada dos veces, se reprodujera con signo cambiado — y el seno es exactamente eso (ver el ciclo de período 4 en trigonométricas).

Ésta es la ecuación del péndulo, del resorte, del circuito LC, de la cuerda vibrante.

Ejemplos resueltos

1. Resolver dy/dx = ky (separación de variables)

El método. Juntá todas las $y$ de un lado y todas las $x$ del otro:

$$\frac{dy}{y} = k\,dx$$

Integrá los dos lados:

$$\int \frac{dy}{y} = \int k\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = kx + C_1$$

Exponenciá para despejar $y$:

$$y = e^{kx + C_1} = e^{C_1}e^{kx}$$

Y como $e^{C_1}$ es sólo otra constante, llamala $A$:

$$\boxed{y = A e^{kx}}$$

Qué es $A$: poné $x = 0$ y te da $y(0) = A$. Es el valor inicial. La constante de integración no era un adorno — es el dato de dónde arrancaste.

2. El oscilador armónico

Problema. Resolver $\dfrac{d^2y}{dx^2} = -n^2 y$.

Buscamos una función que, derivada dos veces, se reproduzca con signo cambiado.

Del ciclo de las trigonométricas:

$$\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$$

Dos derivadas de $\sin$ dan $-\sin$. Es exactamente lo que pedimos. Probemos $y = A\sin(nx)$:

$$\frac{dy}{dx} = An\cos(nx), \qquad \frac{d^2y}{dx^2} = -An^2\sin(nx) = -n^2\,y \quad ✓$$

Funciona. La solución general (dos integraciones → dos constantes):

$$\boxed{y = A\sin(nx + B)}$$

$A$ es la amplitud (cuán grande la oscilación), $B$ la fase (dónde arranca).

Esto es el péndulo, el resorte, el circuito LC y la cuerda vibrante. Una sola ecuación.

3. Enfriamiento (ley de Newton), con números

Problema. Un café a 90 °C en una sala a 20 °C. A los 10 min está a 60 °C. ¿A qué temperatura está a los 30 min?

Planteo. La tasa de enfriamiento es proporcional a la diferencia con el ambiente:

$$\frac{dT}{dt} = -k(T - 20)$$

Sustituí $\theta = T - 20$ (el exceso sobre el ambiente). Entonces $\frac{d\theta}{dt} = -k\theta$, que es el mismo problema del ejemplo 1:

$$\theta(t) = \theta_0 e^{-kt}, \qquad \theta_0 = 90 - 20 = 70$$

Hallá $k$ con el dato de los 10 min ($T=60 \Rightarrow \theta = 40$):

$$40 = 70e^{-10k} \ \Longrightarrow\ e^{-10k} = \tfrac{4}{7} \ \Longrightarrow\ k = \frac{\ln(7/4)}{10} \approx 0.0560\ \text{min}^{-1}$$

Respondé a los 30 min:

$$\theta(30) = 70\,e^{-0.0560 \cdot 30} = 70\,e^{-1.679} \approx 13.1$$ $$\boxed{T(30) = 20 + 13.1 \approx 33.1\ ^\circ\text{C}}$$

El movimiento inteligente fue el cambio de variable $\theta = T - 20$. Convirtió un problema nuevo en uno ya resuelto. Eso no es un truco de cálculo: es cómo funciona la matemática entera — reducí lo desconocido a lo conocido.

Las constantes arbitrarias

Cada integración introduce una constante (ver integración). Una ecuación de segundo orden se integra dos veces → dos constantes (A y B arriba).

Esas constantes se fijan con las condiciones iniciales o de borde: dónde estaba el péndulo y con qué velocidad salió. La matemática da la familia de soluciones; la física elige cuál.

Por qué este capítulo cierra el libro

Porque acá se ve para qué servía todo. Derivadas, reglas, dodges, integrales — la maquinaria entera existe para poder escribir y resolver estas ecuaciones, que son las que describen cómo cambia el mundo.

Y es acá donde Thompson finalmente admite que integrar es un arte que requiere práctica sostenida — recién después de haberte convencido de que podés. Ver dodges.

Citations

[1] Thompson, S. P. Calculus Made Easy, 2nd ed., Macmillan, 1914 — Cap. XXI, pp. 232-248.